【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

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 “白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。

01
什么是将军饮马?
【问题描述】

如图,将军在图中点A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短?

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【问题简化】

如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小?

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【问题分析】

这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.

【问题解决】

作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

当A'、P、B三点共线的时候,PA'+PB=A'B,此时为最小值(两点之间线段最短)

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

作端点(点A或点B)关于折点(上图P点)所在直线的对称,化折线段为直线段.

02
将军饮马模型系列
“一定两动”之点到点

在OA、OB上分别取点M、N,使得△PMN周长最小。

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此处M、N均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP'',当P'、M、N、P''共线时,△PMN周长最小。

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【例题】如图,点P是∠AOB内任意一点,∠AOB=30°,OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值为________.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值,此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA对称点P'、P'',化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

当P'、N、M、P''共线时,得△PMN周长的最小值,即线段P'P''长,连接OP'、OP'',可得△OP'P''为等边三角形,所以P'P''=OP'=OP=8.

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“两定两动”之点到点

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,分别作点P、Q关于OA、OB对称,化折线段PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ',当P'、M、N、Q'共线时,四边形PMNQ的周长最小。

“一定两动”之点到线

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

此处M点为折点,作点P关于OA对称的点P',将折线段PM+MN转化为P'M+MN,即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN最小值(点到直线的连线中,垂线段最短)

03
几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置

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正方形中的将军饮马

【关于对角线对称】

如图,正方形ABCD的边长是4,M在DC上,且DM=1, N是AC边上的一动点,则△DMN周长的最小值是________.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【分析】考虑DM为定值,故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值.点N为折点,作点D关于AC的对称点,即点B,连接BN交AC于点N,此时△DMN周长最小.

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【假装不存在的正方形】

(2019山东聊城)如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),点C在边AB上,且AC:CB=1:3,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为(      )

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A.(2,2)            B.(5/2,5/2)

C.(8/3,8/3)      D.(3,3)

【分析】此处点P为折点,可以作点D关于折点P所在直线OA的对称:

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

也可以作点C的对称:

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【隐身的正方形】

(2017辽宁营口)如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为(      )

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A.4          B.5        C.6         D.7

【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C',当C'、P、D共线时,PC+PD最小,最小值为5,故选B.

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【解题策略】最值系列之将军饮马(一)
三角形中的将军饮马

【等边系列】

如图,在等边△ABC中,AB=6, N为AB上一点且BN=2AN, BC的高线AD交BC于点D,M是AD上的动点,连结BM,MN,则BM+MN的最小值是___________.

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【分析】M点为折点,作B点关于AD的对称点,即C点,连接CN,即为所求的最小值.

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过点C作AB垂线,利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7.

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【隐身的等边三角形】

如图,在Rt△ABD中,AB=6,∠BAD=30°,∠D=90°,N为AB上一点且BN=2AN, M是AD上的动点,连结BM,MN,则BM+MN的最小值是________.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【分析】对称点并不一定总是在已知图形上.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

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【角分线系列之点到点】

(2018山东潍坊)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6.AB=12,AD平分∠ACB,点F是AC的中点,点E是AD上的动点,则CE+EF的最小值为________.

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【分析】此处E点为折点,可作点C关于AD的对称,对称点C'在AB上且在AB中点,化折线段CE+EF为C'E+EF,当C'、E、F共线时得最小值,C'E为CB的一半.

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【角分线系列之点到线】

(2018辽宁营口)如图,在锐角三角形ABC中,BC=4,∠ABC=60°, BD平分∠ABC,交AC于点D,M、N分别是BD,BC上的动点,则CM+MN的最小值是________.

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【分析】此处M点为折点,作点N关于BD的对称点,恰好在AB上,化折线CM+MN为CM+MN'.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

因为M、N皆为动点,所以过点C作AB的垂线,可得最小值.

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【解题策略】最值系列之将军饮马(一)
菱形、矩形中的将军饮马

【菱形高】

(2018广西贵港)如图,在菱形ABCD中,AC为6倍根号2,BD=6,E是BC的中点,P、M分别是AC、AB上的动点,连接PE、PM,则PE+PM的最小值是____________.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【分析】此处P为折点,作点M关于AC的对称点M',恰好在AD上,化折线EP+PM为EP+PM'.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

当E、P、M'共线时,EP+PM最小,最小值即为菱形的高,可用面积法:AC·BD=BC·EM'.

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【折点在边上】

(2017山东菏泽)如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是__________.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【分析】点E为折点,E是y轴上一点,作点D关于y轴的对称点D',连接AD,与y轴交点即为所求E点.

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【面积与折点】

(2019西藏)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,动点P满足△APB的面积是矩形ABCD面积的三分之一,则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为_________.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【分析】由△APB面积是矩形面积三分之一,可作出P点轨迹为直线MN(AM=BN=2),作点B关于MN的对称点B',化折线PA+PB为PA+PB'.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

当A、P、B'共线时,取到最小值.

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【全等与对称】

(2017江苏南通)如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为________.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形,即求EH+EF最小值,此处E为折点,作F关于AB对称点F',则BF'=BF=DH=CM,∴MF'=BC=5,MH=DC=10,∴HF'为5倍根号5,周长最小值为10倍根号5.

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04
特殊角的对称
60°角的对称

(2018滨州)如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP为根号3,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是_________.

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【分析】此处M、N均为折点,分别作点P关于OB、OA的对称点P'、P'',化△PMN周长为P'N+NM+MP''.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

当P'、N、M、P''共线时,得最小值,利用60°角翻倍得∠P'OP''=120°,OP'=OP''=OP,可得最小值.

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30°角的对称

(2017湖北随州)如图,∠AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(3,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,∠AOB=30°,要使PM+PN最小,则点P的坐标为_________.

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【分析】此处点P为折点,作点M关于OA的对称对称点M'如图所示,连接PM',化PM+PN为PM'+PN.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

当M'、P、N共线时,得最小值,又∠M'ON=60°且ON=2OM',可得∠OM'N=90°,故P点坐标可求.

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20°角的对称

如图,已知正比例函数y=kx(k>0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°,定点A的坐标为(0,4),P为y轴上的一个动点,M、N为函数y=kx(k>0)的图像上的两个动点,则AM+MP+PN的最小值为____________.

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

【分析】先考虑M为折点,作点P关于OM对称点P',化AM+MP+PN为AM+MP'+P'N

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

此处P'为折点,作点N关于OP'对称点N',化AM+MP'+P'N为AM+MP'+P'N'

【解题策略】最值系列之将军饮马(一)

当A、M、P'、N'共线且AN'⊥ON'时,值最小.

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  • 本文由 发表于 2019年12月30日12:38:13
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