【解题策略】最值系列之将军饮马(二)

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所属分类:数学
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上一篇【解题策略】最值系列之将军饮马(一)我们了解了常见的“将军饮马”问题,本篇继续介绍两种其他类型的将军饮马~

01
将军过桥

已知将军在图中点A处,现要过河去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短?

【分析】考虑MN长度恒定,只要求AM+NB最小值即可.问题在于AM、NB彼此分离,所以首先通过平移,使AM与NB连在一起,将AM向下平移使得M、N重合,此时A点落在A'位置.

问题化为求A'N+NB最小值,显然,当共线时,值最小,并得出桥应建的位置.

通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起,是解决问题的关键~

将军过双桥

已知将军在图中点A处,现要过两条河去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短?

【分析】考虑PQ、MN均为定值,所以路程最短等价于AP+QM+NB最小,对于这彼此分离的三段,可以通过平移使其连接到一起.AP平移至A'Q,NB平移至MB',化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'.

当A'、Q、M、B'共线时,A'Q+QM+MB'取到最小值,再依次确定P、N位置.

去除定量,组合变量

02
将军遛马

【问题介绍】

如图,将军在A点处,现在将军要带马去河边喝水,并沿着河岸走一段路,再返回军营,问怎么走路程最短?

【模型简化】

已知A、B两点,MN长度为定值,求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小?

【分析】考虑MN为定值,故只要AM+BN值最小即可.将AM平移使M、N重合,AM=A'N,将AM+BN转化为A'N+NB.

构造点A关于MN的对称点A'',连接A''B,可依次确定N、M位置,可得路线.

一个例子

如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点B在原点,点A、C在坐标轴上,点D的坐标为(6,4),E为CD的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,则点P的坐标为________.

【分析】考虑PQ、AE为定值,故只要AP+QE最小即可,如图,将AP平移至A'Q,考虑A'Q+QE最小值.

作点A'关于x轴的对称点A'',连接A''E,与x轴交点即为Q点,左移2个单位即得P点.

挖掘定量

如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=4,AC为对角线,E、F分别为边AB、CD上的动点,且EF⊥AC于点M,连接AF、CE,求AF+CE的最小值.

【分析】此题难点在于要得到AF与CE之间的关系,方能将这两条线段联系到一起.过点E作EH⊥CD交CD于H点,由相似可得:FH=1.

连接BH,则BH=CE

问题转化为BH+AF最小值.

参考将军遛马的作法,作出图形,得出AF+BH=A'H+B'H=A'B'=5.

weinxin
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