【解题策略】最值系列之辅助圆(一)

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所属分类:数学
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最值问题的必要条件是至少有一个动点,因为是动态问题,所以才会有最值.在将军饮马问题中,折点P就是那个必须存在的动点.并且它的运动轨迹是一条直线,解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可.

当然,动点的运动轨迹是可以变的,比如P点轨迹也可以是一个圆,就有了第二类最值问题——辅助圆.

在这类题目中,题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆,也很少把这个圆画出来,因此,结合题目给的条件,分析出动点的轨迹图形,将是我们面临的最大的问题.

若已经确定了动点的轨迹圆,接下来求最最值的问题就会变得简单了,比如:如下图,A为圆外一点,在圆上找一点P使得PA最小.

已知圆轨迹类

【2017四川德阳】

如图,已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点,经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°,直线l不经过点C,则AB的最小值为________.

【分析】连接OP,根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点,可得OP是AB的一半,若AB最小,则OP最小即可.

连接OC,与圆C交点即为所求点P,此时OP最小,AB也取到最小值.

由定义构造辅助圆

圆的定义:平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合.

构造思路:若动点到平面内某定点的距离始终为定值,则其轨迹是以定点为圆心、定值为半径的圆或圆弧.

【2014成都中考】

如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是________.

【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,可得MA'=MA=1,所以A'轨迹是以M点为圆心,MA为半径的圆弧.

连接CM,与圆的交点即为所求的A',此时A'C的值最小.

构造直角△MHC,勾股定理求CM,再减去A'M即可.

【2016淮安中考】

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是_______.

【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE,可得P点轨迹是以F点为圆心,FC为半径的圆弧.

过F点作FH⊥AB,与圆的交点即为所求P点,此时点P到AB的距离最小.由相似先求FH,再减去FP,即可得到PH.

【2019扬州中考】

如图,已知等边△ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线l是经过点P的一条直线,把△ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B'.当PB=6时,在直线l变化过程中,求△ACB'面积的最大值.

【分析】考虑l是经过点P的直线,且△ABC沿直线l折叠,所以B'轨迹是以点P为圆心,PB为半径的圆弧.

考虑△ACB'面积最大,因为AC是定值,只需B'到AC距离最大即可.过P作作PH⊥AC交AC于H点,与圆的交点即为所求B'点,先求HB',再求面积.

【2018相城区一模】

如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF、PD,则PF+PD的最小值是_________.

【分析】F点轨迹是以E点为圆心,EA为半径的圆,作点D关于BC对称点D',连接PD',PF+PD化为PF+PD'.

连接ED',与圆的交点为所求F点,与BC交点为所求P点,勾股定理先求ED',再减去EF即可.

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