【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

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在上一篇【解题策略】最值系列之辅助圆(一)我们了解了根据圆的定义来构造辅助圆,本文介绍另外两种方式:

1、定边对直角;

2、定边对定角.

01
定边对直角
【解题策略】最值系列之辅助圆(二)
【知识回顾】直径所对的圆周角是直角.

【构造思路】一条定边所对的角始终为直角,则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

【图形释义】

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

若AB是一条定线段,且∠APB=90°,则P点轨迹是以AB为直径的圆.

【解题关键】挖掘直角,确定定边.

例题解析

已知正方形ABCD边长为2,E、F分别是BC、CD上的动点,且满足BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则PC的最小值为_________.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】由于E、F是动点,故P点也是动点,因而存在PC最小值这样的问题,那P点轨迹如何确定?

考虑BE=CF,易证AE⊥BF,即在运动过程中,∠APB=90°,故P点轨迹是以AB为直径的圆.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

连接OC,与圆的交点即为P点,通过勾股定理可求OC,再减去OP即可求出PC长度.

动点轨迹通常“非直即圆”,分析动点形成原理,寻找与动点相关定边与定角.

2013湖北武汉

如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是________.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】根据条件可知:∠DAG=∠DCG=∠ABE,易证AG⊥BE,即∠AHB=90°,

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

当D、H、O共线时,DH取到最小值,勾股定理先求OD,再减去OH即可.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

2016安徽中考

如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值是______.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°,∠PBC=∠PAB,∴∠PAB+∠PBA=90°,∴∠APB=90°,

∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

当O、P、C共线时,CP取到最小值,勾股定理先求OC,再减去OP即可.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

确定定边

如图 AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=5,AC=4.D是弧BC上的一个动点,连接AD,过点CCE⊥ADE,连接BE.在点D移动的过程中,BE的最小值为_______.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】E是动点,E点由点C向AD作垂线得来,∠AEC=90°,且AC是一条定线段,所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

B、E、M共线时,BE取到最小值.连接BC,勾股定理求BM,再减去EM即可.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

挖掘直角,确定定边

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作圆O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为________.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】考虑到E点有连接BD与圆O相交所得,所以可连接CE,则CE⊥BD,考虑到CD边是变化的,可取BC边为定边.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

取BC中点M,E点轨迹是以M为圆心,MB为半径作圆弧.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

连接AM,与圆M的交点为所求E点,此时AE值最小,勾股定理先求AM,再减去EM即可.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

2019苏州园区一模

如图,正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发,以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动,当点E到达点B时,运动停止,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,则AG长的最小值为______.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】首先考虑整个问题中的不变量,仅有AE=CF,BG⊥EF,但∠BGE所对的BE边是不确定的.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

重点放在AE=CF,可得EF必过正方形中心O点,连接BD,与EF交点即为O点.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

∠BGO为直角且BO边为定直线,故G点轨迹是以BO为直径的圆.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

记BO中点为M点,当A、G、M共线时,AG取到最小值,利用Rt△AOM勾股定理先求AM,再减去GM即可.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

辅助圆+将军饮马

如图,正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点,连接BE,过点A作AF⊥BE于点F,点P是AD边上另一动点,则PC+PF的最小值为________.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】∠AFB=90°且AB是定线段,故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

考虑PC+PF是折线段,作点C关于AD的对称点C’,化PC+PF为PC’+PF,当C’、P、F、O共线时,取到最小值.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

辅助圆+相切

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,D是BC上一动点,CE⊥AD于E,EF⊥AB交BC于点F,则CF的最大值是_________.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】∠AEC=90°且AC为定值,故E点轨迹是以AC为直径的圆弧.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

考虑EF⊥AB,且E点在圆上,故当EF与圆相切的时候,CF取到最大值.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

连接OF,易证△OCF≌△OEF,∠COF=30°,故CF可求.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

02
定边对定角
【解题策略】最值系列之辅助圆(二)
在“定边对直角”问题中,依据“直径所对的圆周角是直角”,关键性在于寻找定边、直角,而根据圆周角定理:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角都相.定边必不可少,而直角则可一般为定角.例如,AB为定值,∠P为定角,则A点轨迹是一个圆.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

当然,∠P度数也是特殊角,比如30°、45°、60°、120°,下分别作对应的轨迹圆.

若∠P=30°,以AB为边,同侧构造等边三角形AOB,O即为圆心.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

若∠P=45°,以AB为斜边,同侧构造等腰直角三角形AOB,O即为圆心.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

若∠P=60°,以AB为底,同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB,O即为圆心.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

若∠P=120°,以AB为底,异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB,O即为圆心.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

当定边所对定角为β的时候,以定边为弦,2β为圆心角构造圆.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)
例题解析

如图,等边△ABC边长为2,E、F分别是BC、CA上两个动点,且BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则CP的最小值为________.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF,所以∠APF=60°,但∠APF所对的边AF是变化的.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

所以考虑∠APB=120°,其对边AB是定值.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

所以如图所示,P点轨迹是以点O为圆心的圆弧.(构造OA=OB且∠AOB=120°)

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

当O、P、C共线时,可得CP的最小值,利用Rt△OBC勾股定理求得OC,再减去OP即可.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

2017山东威海

如图,△ABC为等边三角形,AB=2,若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为_________.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】由∠PAB=∠ACP,可得∠APC=120°,后同上例题.

2019江苏南京

在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,则BC的长的取值范围是_______.

【分析】先作图,如下

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

条件不多,但已经很明显,AB是定值,∠C=60°,即定边对定角.故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧.(作AO=BO且∠AOB=120°)

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

题意要求∠A>∠B,即BC>AC,故点C的轨迹如下图.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

当BC为直径时,BC取到最大值,

考虑∠A为△ABC中最大角,故BC为最长边,BC>AB=4.无最小值.

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2019湖北武汉

如图,AB是圆O的直径,M、N是弧AB(异于A、B)上两点,C是弧MN上一动点,∠ACB的角平分线交圆O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E,当点C从点M运动到点N时,则C、E两点的运动路径长的比是_______.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

【分析】分别考虑C、E两点的轨迹,C点轨迹上是弧MCN,其对应圆心角为∠MON,半径为OM(或ON).

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

再考虑E点轨迹,考虑到CE、AE都是角平分线,所以连接BE,BE平分∠ABC,可得:∠AEB=135°.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

考虑到∠AEB是定角,其对边AB是定线段,根据定边对定角,所以E点轨迹是个圆,考虑到∠ADB=90°,所以D点即为圆心,DA为半径.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

E点轨迹所对的圆心角为∠MDN,是∠MON的一半,所以C、E两点轨迹圆半径之比为1:根号2,圆心角之比为2:1,所以弧长比值为根号2.

【解题策略】最值系列之辅助圆(二)

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  • 本文由 发表于 2019年12月30日12:34:40
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