最值系列之瓜豆原理(一)

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在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值.

本文继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题目中,题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点Q,当然P、Q之间存在某种联系,从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值,为常规思路

01
动点轨迹之“圆”
引例1

如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,Q为AP中点.当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?

最值系列之瓜豆原理(一)

【分析】观察动图:

最值系列之瓜豆原理(一)

点Q轨迹是个圆,而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系?

考虑到Q点始终为AP中点,连接AO,取AO中点M,则M点即为Q点轨迹圆圆心,半径MQ是OP一半,任意时刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.

最值系列之瓜豆原理(一)

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径,

由A、Q、P共线可得:A、M、O三点共线,

由Q为AP中点可得:AM=1/2AO.

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.

引例2

如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?

最值系列之瓜豆原理(一)

【分析】动图先看结果:

最值系列之瓜豆原理(一)

Q点轨迹是个圆,可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ,故Q点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.

最值系列之瓜豆原理(一)

考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.

即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.

引例3

如图,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,当P在圆O运动时,Q点轨迹是?

最值系列之瓜豆原理(一)

【分析】动图先看结果:

最值系列之瓜豆原理(一)

考虑AP⊥AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO;

考虑AP:AQ=2:1,可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1.

即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO∽△AQM,且相似比为2.

最值系列之瓜豆原理(一)

模型总结

为了便于区分动点P、Q,可称点P为“主动点”,点Q为“从动点”.

【条件】两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);

主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).

最值系列之瓜豆原理(一)

【结论】

(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:∠PAQ=∠OAM;

(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比:AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.

按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q与P的关系相当于旋转+伸缩.

 古人云:种瓜得瓜,种豆得豆.

“种”圆得圆,“种”线得线,谓之“瓜豆原理”.

思考1

如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为一边作等边△APQ.

考虑:当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是?

最值系列之瓜豆原理(一)

【分析】Q点满足(1)∠PAQ=60°;(2)AP=AQ,故Q点轨迹是个圆:

考虑∠PAQ=60°,可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°;

考虑AP=AQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.

即可确定圆M位置,任意时刻均有△APO≌△AQM.

最值系列之瓜豆原理(一)

【小结】可以理解AQ由AP旋转得来,故圆M亦由圆O旋转得来,旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系.

思考2

如图,P是圆O上一个动点,A为定点,连接AP,以AP为斜边作等腰直角△APQ.

考虑:当点P在圆O上运动时,如何作出Q点轨迹?

最值系列之瓜豆原理(一)

【分析】Q点满足(1)∠PAQ=45°;(2)AP:AQ=根号2:1,故Q点轨迹是个圆.

连接AO,构造∠OAM=45°且AO:AM=根号2:1.M点即为Q点轨迹圆圆心,此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ.即可确定点Q的轨迹圆.

最值系列之瓜豆原理(一)

真题战场
2016余姚模拟

如图,点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最小值是_______.

最值系列之瓜豆原理(一)

【分析】M点为主动点,C点为从动点,B点为定点.考虑C是BM中点,可知C点轨迹:取BP中点O,以O为圆心,OC为半径作圆,即为点C轨迹.

最值系列之瓜豆原理(一)

当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时,AC取到最小值,根据B、P坐标求O,利用两点间距离公式求得OA,再减去OC即可.

最值系列之瓜豆原理(一)

2016武汉中考

如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2倍根号2,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点,当半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长为________.

最值系列之瓜豆原理(一)

【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点,可确定M点轨迹:

取AB中点O,连接CO取CO中点D,以D为圆心,DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点,则弧EF即为M点轨迹.
最值系列之瓜豆原理(一)
当然,若能理解M点与P点轨迹关系,可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半,即可解决问题.
2018南通中考

如图,正方形ABCD中,AB=2倍根号5,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE、CF.求线段OF长的最小值.
最值系列之瓜豆原理(一)
【分析】E是主动点,F是从动点,D是定点,E点满足EO=2,故E点轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.
最值系列之瓜豆原理(一)
考虑DE⊥DF且DE=DF,故作DM⊥DO且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心,2为半径的圆.
最值系列之瓜豆原理(一)
直接连接OM,与圆M交点即为F点,此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长,再利用勾股定理求得OM,减去MF即可得到OF的最小值.
最值系列之瓜豆原理(一)
一条隐藏的瓜豆

△ABC中,AB=4,AC=2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点O,则线段AO的最大值为______.

最值系列之瓜豆原理(一)
【分析】考虑到AB、AC均为定值,可以固定其中一个,比如固定AB,将AC看成动线段,由此引发正方形BCED的变化,求得线段AO的最大值.
根据AC=2,可得C点轨迹是以点A为圆心,2为半径的圆.
最值系列之瓜豆原理(一)
接下来题目求AO的最大值,所以确定O点轨迹即可,观察△BOC是等腰直角三角形,锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心,2为半径的圆,所以O点轨迹也是圆,以AB为斜边构造等腰直角三角形,直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.
最值系列之瓜豆原理(一)
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大,根据AB先求AM,再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值,得到MO,相加即得AO.
最值系列之瓜豆原理(一)
此题方法也不止这一种,比如可以如下构造旋转,当A、C、A’共线时,可得AO最大值.
最值系列之瓜豆原理(一)

或者直接利用托勒密定理可得最大值.

(未完待续)

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  • 本文由 发表于 2019年12月30日12:33:20
常用几何模型总结 数学

常用几何模型总结

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