最值系列之瓜豆原理(二)

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所属分类:数学
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在上一篇我们探讨了动点轨迹为圆的瓜豆原理问题,本文介绍动点轨迹为直线或其他图形的情况,原理是一样的,抓主动点与从动点之间的关系从而得从动点的轨迹.

01

动点轨迹之“直线”

引例1

如图,P是直线BC上一动点,连接AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时,Q点轨迹是?
【分析】先看动图结果:
 
当P点轨迹是直线时,Q点轨迹也是一条直线.
可以这样理解:分别过A、Q向BC作垂线,垂足分别为M、N:
在运动过程中,因为AP=2AQ,所以AM=2QN,即Q点到BC的距离是定值,故Q点轨迹是一条直线.
引例2

如图,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90°且AP=AQ,当点P在直线BC上运动时,求Q点轨迹?
【分析】动图先看结果:
 
当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话,P、Q轨迹是同一种图形.
当确定轨迹是线段的时候,可以任取两个时刻的Q点的位置,连线即可,比如Q点的起始位置Q1和终点位置Q2,连接即得Q点轨迹线段.

模型总结

【必要条件】
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值);
主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值).
【结论】
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ(当∠PAQ≤90°时,∠PAQ等于MN与BC夹角)
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ(由△ABC∽△AMN,可得AP:AQ=BC:MN)
真题战场

2017姑苏区二模

如图,在等边△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动,连结PD,以PD为边,在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF,当点P从点E运动到点A时,点F运动的路径长是________.
【分析】根据△DPF是等边三角形,所以可知F点运动路径长与P点相同,P从E点运动到A点路径长为8,故此题答案为8.
2013湖州中考

如图,已知点A是第一象限内横坐标为2倍根号3的一个定点,AC⊥x轴于点M,交直线y=-x于点N,若点P是线段ON上的一个动点,∠APB=30°,BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时,A点不变,B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时,点B运动的路径长是________.
【分析】根据∠PAB=90°,∠APB=30°可得:AP:AB=根号3:1,故B点轨迹也是线段,且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为根号3:1,P点轨迹长ON为2倍根号6,故B点轨迹长为2倍根号2.
坐标系中的最值

如图,在平面直角坐标系中,A(-3,0),点B是y轴正半轴上一动点,以AB为边在AB的下方作等边△ABP,点B在y轴上运动时,求OP的最小值.
【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹,根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动,故可知P点轨迹也是直线.
取两特殊时刻:(1)当点B与点O重合时,作出P点位置P1;(2)当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时,作出P点位置P2.连接P1P2,即为P点轨迹.
根据∠ABP=60°可知:P1P2与y轴夹角为60°,作OP⊥P1P2,所得OP长度即为最小值,OP2=OA=3,所以OP=3/2.
2019宿迁中考

如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为_______.
【分析】同样是作等边三角形,区别于上一题求动点路径长,本题是求CG最小值,可以将F点看成是由点B向点A运动,由此作出G点轨迹.
考虑到F点轨迹是线段,故G点轨迹也是线段,取起点和终点即可确定线段位置,初始时刻G点在G1位置,最终G点在G2位置(G2不一定在CD边),G1G2即为G点运动轨迹.
CG最小值即当CG⊥G1G2的时候取到,作CH⊥G1G2于点H,CH即为所求的最小值.
根据模型可知:G1G2与AB夹角为60°,故G1G2⊥EG1.
过点E作EF⊥CH于点F,则HF=G1E=1,CF=1/2CE=3/2,
所以CH=5/2,因此CG的最小值为5/2.
02

动点轨迹之“其他图形”

所谓“瓜豆原理”,就是根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比,可确定从动点的轨迹,而当主动点轨迹是其他图形时,从动点轨迹必然也是.

2016乐山中考

如图,在反比例函数y=-2/x的图像上有一个动点A,连接AO并延长交图像的另一支于点B,在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时,点C始终在函数y=k/x的图像上运动,若tan∠CAB=2,则k的值为(    )
A.2            B.4             C.6           D.8
【分析】依旧动图观察:
 
∠AOC=90°且AO:OC=1:2,显然点C的轨迹也是一条双曲线,分别作AM、CN垂直x轴,垂足分别为M、N,连接OC,易证△AMO∽△ONC,∴CN=2OM,ON=2AM,∴ON·CN=4AM·OM,故k=4×2=8.
【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”,k会是多少?
动点轨迹三角形

如图,A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),点P是△ABC边上一动点,连接OP,以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ,当点P在△ABC边上运动一周时,点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________.
【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得:Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同,根据OP:OQ=根号2:1,可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为根号2:1,故面积比为2:1,△ABC面积为1/2×3×4=6,故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3.
【小结】根据瓜豆原理,类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积,根据主动点轨迹推导即可,甚至无需作图.
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