最值系列之“胡不归”问题

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所属分类:数学
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在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值,除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值,此类式子一般可以分为两类问题:(1)胡不归问题;(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型.
式微,式微,胡不归?

——《诗·邶风·式微》

【背景介绍】
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”(“胡”同“何”)
而如果先沿着驿道AC先走一段,再走砂石地,会不会更早些到家?
【模型建立】
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1<V2,A、B为定点,点C在直线MN上,确定点C的位置使的值最小.
【问题分析】
即求BC+kAC的最小值.
【问题解决】
构造射线AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.
  
将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.
模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.
而这里的PB必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.
2019长沙中考

如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_______.

【分析】本题关键在于处理“”,考虑tanA=2,△ABE三边之比为,故作DH⊥AB交AB于H点,则

问题转化为CD+DH最小值,故C、D、H共线时值最小,此时

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线DH,即可解决问题,若稍作改变,将图形改造如下:

则需自行构造α,如下图,这一步正是解决“胡不归”问题关键所在.

2019南通中考

如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则的最小值等于  .

【分析】考虑如何构造“”,已知∠A=60°,且sin60°=,故延长AD,作PH⊥AD延长线于H点,即可得,将问题转化为:求PB+PH最小值.

当B、P、H三点共线时,可得PB+PH取到最小值,即BH的长,解直角△ABH即可得BH长.

2014成都中考

如图,已知抛物线(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;
(2)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?

【分析】第一小问代点坐标,求解析式即可,此处我们直接写答案:A(-2,0),B(4,0),直线解析式为,D点坐标为,故抛物线解析式为,化简为:.另外为了突出问题,此处略去了该题的第二小问.
点M运动的时间为,即求的最小值.
接下来问题便是如何构造,考虑BD与x轴夹角为30°,且DF方向不变,故过点D作DM∥x轴,过点F作FH⊥DM交DM于H点,则任意位置均有FH=
当A、F、H共线时取到最小值,根据A、D两点坐标可得结果.
2018重庆中考

抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点,PF⊥x轴于点F,PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移,线段OB的对应线段是O1B1,当的值最大时,求四边形PO1B1C周长的最小值,并求出对应的点O1的坐标.(为突出问题,删去了两个小问)
【分析】根据抛物线解析式得A、B、C,直线AC的解析式为:,可知AC与x轴夹角为30°. 
根据题意考虑,P在何处时,PE+EC/2取到最大值.过点E作EH⊥y轴交y轴于H点,则∠CEH=30°,故CH=EC/2,问题转化为PE+CH何时取到最小值.
考虑到PE于CH并无公共端点,故用代数法计算,设
当P点坐标为时,取到最小值,故确定P、C、求四边形面积最小值,运用将军饮马模型解题即可.
weinxin
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