最值系列之“阿氏圆”问题

报名
在前面的“胡不归”问题中,我们见识了“kPA+PB”最值问题,其中P点轨迹是直线,而当P点轨迹变为圆时,即通常我们所说的“阿氏圆”问题.
所谓“阿氏圆”,是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念,在平面内,到两个定点距离之比等于定值(不为1)的点的集合叫做圆.
如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.
最值系列之“阿氏圆”问题
以下给出两种证明
法一:构造角分线

先复习两个定理

(1)角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,则AB:AC=DB:DC.

最值系列之“阿氏圆”问题

证明:利用等积法

最值系列之“阿氏圆”问题最值系列之“阿氏圆”问题

即AB:AC=DB:DC

(2)外角平分线定理:如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB:AC=DB:DC.

最值系列之“阿氏圆”问题

证明:在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD平分∠BDE,则DB:DE=AB:AE,即AB:AC=DB:DC.
接下来开始证明:
最值系列之“阿氏圆”问题
如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,MA:MB=PA:PB=k,故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点;
作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,NA:NB=PA:PB=k,故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点;
又∠MPN=90°,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.
最值系列之“阿氏圆”问题
法二:建系

不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称,设A(-m,0),则B(m,0),设P(x,y),PA=kPB,即:

最值系列之“阿氏圆”问题

解析式满足圆的一般方程,故P点所构成的图形是圆,且圆心与AB共线.

那么这个玩意和最值有什么关系呢?
且来先看个例子:
引例

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点,点P是圆C上一个动点,则1/2PA+PB的最小值为______.

最值系列之“阿氏圆”问题

【分析】这个问题最大的难点在于转化1/2PA,此处P点轨迹是圆,故转化方法与之前有所不同,如下,提供两种思路.

法一:构造相似三角形

注意到圆C半径为2,CA=4,连接CP,构造包含线段AP的△CPA,在CA边上取点M使得CM=2,连接PM,可得△CPA∽△CMP,故PA:PM=2:1,即PM=1/2PA.

最值系列之“阿氏圆”问题

问题转化为PM+PB最小值,直接连BM即可.

【问题剖析】
(1)这里为什么是1/2PA?
答:因为圆C半径为2,CA=4,比值是1:2,所以构造的是1/2PA,也只能构造1/2PA.
(2)如果问题设计为PA+kPB最小值,k为多少?
答:根据圆C半径与CB之比为2:3,k应为2/3.
【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例,构造相似转化线段即可解决.
划重点
法二:阿氏圆模型

对比一下这个题目的条件,P点轨迹是圆,A是定点,我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2,这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛!

最值系列之“阿氏圆”问题

而且这种问题里,给定的圆的位置、定点A的位置、线段的比例等,往往都是搭配好的!

P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上,故所求M点在AC边上,考虑到PM:PA=1:2,不妨让P点与D点重合,此时DM=1/2DA=1,即可确定M点位置.

最值系列之“阿氏圆”问题

如果对这个结果不是很放心,不妨再取个特殊的位置检验一下,如下图,此时PM=3,PA=6,亦满足PM:PA=1:2.

最值系列之“阿氏圆”问题

【小结】法二其实是开了上帝视角,在已知其是阿氏圆的前提下,通过特殊点找出所求M点位置,虽不够严谨,却很实用.

练习1

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=12,AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是______.

最值系列之“阿氏圆”问题

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=3(2/3AD+BD),故求2/3AD+BD最小值即可.

考虑到D点轨迹是圆,A是定点,且要求构造2/3AD,条件已经足够明显.

当D点运动到AC边时,DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2,则在点D运动过程中,始终存在DM=2/3DA.

最值系列之“阿氏圆”问题

问题转化为DM+DB的最小值,直接连接BM,BM长度的3倍即为本题答案.

最值系列之“阿氏圆”问题

练习2

如图,已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,则PD-1/2PC的最大值为_______.
最值系列之“阿氏圆”问题
【分析】当P点运动到BC边上时,此时PC=2,根据题意要求构造1/2PC,在BC上取M使得此时PM=1,则在点P运动的任意时刻,均有PM=1/2PC,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.
最值系列之“阿氏圆”问题
连接PD,对于△PDM,PD-PM<DM,故当D、M、P共线时,PD-PM=DM为最大值.
最值系列之“阿氏圆”问题
继续阅读
weinxin
咨询微信
学习问题,扫一扫我
报名
  • 本文由 发表于 2019年12月30日12:27:56
常用几何模型总结 数学

常用几何模型总结

 全等变换 平移:平行等线段(平行四边形) 对称:角平分线或垂直或半角 旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型: 说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。两边进行边...