中考热点——将军饮马问题,六种常见模型

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所属分类:数学
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唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河。"诗中隐含着一个有趣的数学问题。传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦。一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发,先到河边饮(yìn)马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短?从此,这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传。

这个问题的解决并不难,据说海伦略加思索就解决了它。抽象为数学模型:直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找一点C,使AC+BC最小。假设点A、B在直线l的异侧就好了,这样我们就可以利用【点到点最值模型:两点之间线段最短】找到点C的位置了。即连接AB交直线l于点C。

因此,我们可以找点A关于直线l的对称点,连接A’B交直线l于点C,点C即为所求!

如果将军在河边的另外任一点C'饮马,所走的路程就是AC'+C'B,但是AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马,路程最短。

掌握了这个“将军饮马模型”的原理和结论后,我们来具体挑战一下吧!

一.六大模型

1.如图,直线l和l的异侧两点A.B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。

2.如图,直线l和l的同侧两点A.B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小。

3.如图,点P是∠MON内的一点,分别在OM,ON上作点A,B。使△PAB的周长最小

4.如图,点P,Q为∠MON内的两点,分别在OM,ON上作点A,B。使四边形PAQB的 周长最小。

5.如图,点A是∠MON外的一点,在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小

6. 如图,点A是∠MON内的一点,在射线ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小

常见题目

类型1 三角形背景下的

1.(2018秋黔南州期末)如图,在等边△ABC中,AB=2,N为AB上一点,且AN=1,AD=√3,∠BAC的平分线交BC于点D,M是AD上的动点,连接BM、MN,则BM+MN的最小值是(  )

A.√3 B.2 C.1 D.3

【解析】连接CN,与AD交于点M,连接BM,此时BM+MN取得最小值,由AD为∠BAC的角平分线,利用三线合一得到AD⊥BC,且平分BC,可得出BM=CM,由BM+MN=CM+MN=CN,可得出CN的长为最小值,利用等边三角形的性质及勾股定理求出即可.在Rt△ACN中,AC=AB=2,AN=1,根据勾股定理得:CN=√3,故选:A.

2.(2018秋无为县期末)如图,在锐角三角形ABC中,AB=4,△ABC的面积为8,BD平分∠ABC.若M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是(  )

A.2 B.4 C.6 D.8

【解答】过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M′,过点M作MN′⊥BC于N′,

∵BD平分∠ABC,M′E⊥AB于点E,M′N′⊥BC于N,

∴M′N′=M′E,∴CE=CM′+M′E

∴当点M与M′重合,点N与N′重合时,CM+MN的最小值.

∵三角形ABC的面积为8,AB=4,∴1/2×4CE=8,∴CE=4.

即CM+MN的最小值为4.故选:B.

3.(2018秋鼓楼区期末)如图,在△ABC中,已知AB=15,BC=14,AC=13,BD平分∠ABC.若P,Q分别是BD和AB上的动点,则PA+PQ的最小值是_____.

PA+PQ的最小值为12.故答案为12.

类型2.正方形背景下的

4.(2018秋安顺期末)如图,已知正方形ABCD的边长是为10cm,△ABE为等边三角形(点E在正方形内),若P是AC上的一个动点,PD+PE的最小值是多少(  )

A.6cmB.8cmC.10cmD.5cm

【解答】如图所示:连接BP.∵正方形ABCD的边长是为10cm,△ABE为等边三角形,

∴BE=AB=10cm.

∵ABCD为正方形,P是AC上的一个动点,∴PB=PD,∴PE+PD=PB+PE.

∵PB+PE≥BE,∴当点E、P、B在一条直线上时,PD+PE有最小值,最小值=BE=10cm.

故选:C.

5.(2018春平南县期中)如图,在正方形ABCD,边长为4,E为AB上的点,AE=1,P为BC上的点,CP=2,O为AC的中点.则△EOP周长的最小值是(  )

6.(2019江岸区校级模拟)如图,正方形ABCD中,AB=8,动点E从A出发向D运动,动点F从B出发向A运动,点E、F运动的速度相同.当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段BE、CF相交于点P,H是线段CD上任意一点,则AH+PH的最小值为(  )

【解答】如图,作点A关于直线CD的对称点A′,连接HA′.

由轴对称的性质可知:HA=HA′,∴HA+HP=HA′+HP,

∴当HA′+PH最短时,HA+HP的值最小,

∵AE=BF,BA=BC,∠BAE=∠CBF=90°,

∴△BAE≌△CBF(SAS),∴∠ABE=∠BCF,

∵∠ABE+∠CBP=90°,∴∠BCP+∠CBP=90°,∴∠CPB=90°,

∴点P在是以BC为直径的⊙O上运动(图中弧BP′,P′是弧BC的中点),

当点P与P′重合时,HA+HP′的值最小,最小值=线段P′A′的长,作P′G⊥AD于G,

类型3 矩形背景下的

7.(2018江岸区校级模拟)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,P是边CD上一点,Q是以AD为直径的半圆上一点,则BP+PQ的最小值为(  )

【解析】设半圆的圆心为O,作O关于CD的对称点O′,连接BO′交CD于点P,连接PO交半圆O于点Q,此时BP+PQ取最小值,如图所示.过O′作O′E⊥BC交BC的延长线于E,根据矩形的性质得到CE=DO′=4,EO′=CD=6,当BP+PQ取最小值时,BP+PQ=BO′﹣1/2OD,根据勾股定理即可得6√5﹣4.故选:D.

【解答】设△PCD中CD边上的高是h.

∵S△PCD=1/4S矩形ABCD,∴1/2CDh=1/4CDAD,∴h=1/2AD=2,

∴动点P在与CD平行且与CD的距离是2的直线l上,

∵A,D关于直线l对称,连接AC交直线l于点P′,AC的长就是所求的最短距离.

在Rt△ABC中,∵AB=3,BC=4,∴根据勾股定理即可得AC=5,

即PA+PB的最小值为5.故选:B.

类型4 菱形背景下的

10.(2019安徽模拟)如图,已知菱形ABCD的周长为16,∠ABC=60°,E为AB的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为(  )

【解答】如图,连接CP,AC,CE,交BD于P',

∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠ADP=∠CDP,PD=PD,

∴△ADP≌△CDP(SAS),∴AP=CP,∴AP+EP=CP+EP,

∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,

又∵E是AB的中点,菱形ABCD的周长为16,∴CE⊥AB,BE=2,BC=4,

∴Rt△BCE中,CE=2√3,当点E,P,C在同一直线上时,即点P在点P'处时,EP+AP的最小值为CE的长,∴EP+AP的最小值为2 ,故选:B.

11.(2019朝阳模拟)菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B(2,0),

类型5 圆形背景下的

12.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,点P是直径MN上一个动点,则PA+PB的最小值为(  )

类型6 一次函数背景下的

13.一次函数y=kx+b的图象与x,y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).

(1)求该直线的解析式.

(2)请判断点(1,2)是否在函数图象上;

(3)O为坐标原点,C(1,0)为OA上的点,D(1,2)为AB上的点,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点的坐标.

类型7 二次函数背景下的

14.如图,在直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(1,√3),若把线段OA绕点O逆时针旋转120°,可得线段OB.

(1)求点B的坐标;

(2)某二次函数的图象经过A、O、B三点,求该函数的解析式;

(3)在第(2)小题所求函数图象的对称轴上,是否存在点P,使△OAP的周长最小,若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)根据点A的坐标易知∠AOx=60°,若将OA逆时针旋转120°,点A的对应点B则正好落在x轴负半轴上,易求得OA的长,即可得到OB的长,从而求出点B的坐标B(﹣2,0).

15.如图,在直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(﹣1,0)、(3,0)(0,3),过A、B、C三点的抛物线的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点.

①求抛物线的解析式;

②求当AD+CD最小时点D的坐标,并求出AD+CD的最小值.

【解析】(1)利用待定系数法即可求函数解析式y=﹣x2+2x+3;

(2)抛物线的对称轴是:x=1,则A关于x=1的对称点坐标是B.

∵B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,

∵点D在直线x=1上,点D的坐标为(1,2).

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