牛吃草问题概念及公式

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牛吃草问题概念及公式

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是︰

1) 设定一头牛一天吃草量为“1”

1)草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数)÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`

3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

 

由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。

这类问题的基本数量关系是:

1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

解多块草地的方法

多块草地的“牛吃草”问题,一般情况下找多块草地的最小公倍数,这样可以减少运算难度,但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

 

“牛吃草”问题分析

【例1】有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供25头牛吃多少天?

A.3 B.4 C.5 D.6   【答案】C

【解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天,这片草场可供25头牛吃Y天

根据核心公式 代入

(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天)

例2】有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供多少头牛吃4天?

A.20 B.25 C.30 D.35     【答案】C

【解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天,

根据核心公式代入   (20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头)

【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃尽,17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽,那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草,需要多少头牛?   A.50 B.46 C.38 D.35   【答案】D

【解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天,每公亩草场原有牧草量为Y ,

24天内吃尽40公亩牧场的草,需要Z头牛  、

根据核心公式:  ,代入  ,因此 ,选择D

【注释】这里面牧场的面积发生变化,所以每天长出的草量不再是常量。

下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法,在真题中的应用。

【例4】有一个灌溉用的中转水池,一直开着进水管往里灌水,一段时间后,用2台抽水机排水,则用40分钟能排完;如果用4台同样的抽水机排水,则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完,需要多少台抽水机?  、

A.5台 B.6台 C.7台 D.8台   【答案】B

【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量,共需Y台抽水机

有恒等式:

解 ,得 ,代入恒等式

【例5】有一水池,池底有泉水不断涌出,要想把水池的水抽干,10台抽水机需抽8小时,8台抽水机需抽12小时,如果用6台抽水机,那么需抽多少小时?

A.16 B.20 C.24 D.28

【答案】C

【解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量,共需Y小时

有恒等式:  解 ,得 ,代入恒等式

【例6】林子里有猴子喜欢吃的野果,23只猴子可在9周内吃光,21只猴子可在12周内吃光,问如果有33只猴子一起吃,则需要几周吃光?(假定野果生长的速度不变)、

A.2周 B.3周 C.4周 D.5周  【答案】C

【解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃,33只猴子共需Y周吃完

有恒等式:   解 ,得 ,代入恒等式

【例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款,每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻,超市如果只开设一个收银台,付款开始4小时就没有顾客排队了,问如果当时开设两个收银台,则付款开始几小时就没有顾客排队了

A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时   【答案】D

【解析】设共需X小时就无人排队了。

例题

1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数

设一个检票口一分钟一个人

1个检票口30分钟30个人

2个检票口10分钟20个人

(30-20)÷(30-10)=0.5个人

原有1×30-30×0.5=15人

或2×10-10×0.5=15人

2、有三块草地,面积分别是5,15,24亩。草地上的草一样厚,而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天?

这是一道牛吃草问题,是比较复杂的牛吃草问题。

把每头牛每天吃的草看作1份。

因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草=10×30=300份

所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5=60份

因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草=28×45=1260份

所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15=84份

所以45-30=15天,每亩面积长84-60=24份

所以,每亩面积每天长24÷15=1.6份

所以,每亩原有草量60-30×1.6=12份

第三块地面积是24亩,所以每天要长1.6×24=38.4份,原有草就有24×12=288份

新生长的每天就要用38.4头牛去吃,其余的牛每天去吃原有的草,那么原有的草就要够吃80天,因此288÷80=3.6头牛

所以,一共需要38.4+3.6=42头牛来吃。

两种解法:

解法一:

设每头牛每天的吃草量为1,则每亩30天的总草量为:10*30/5=60;每亩45天的总草量为:28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12,那么24亩原有草量为12*24=288,24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072,24亩80天共有草量3072+288=3360,所有3360/80=42(头)

解法二:10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩,根据28头牛45天吃15木,可以推出15亩每天新长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24;15亩原有草量:1260-24×45=180;15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛:(180/80+24)*(24/15)=42头

 

 

草在以均匀的速度生长。四头牛一起吃,120天吃完;九头牛一起吃,45天吃完;十六头牛一起吃,多少天吃完?是不是这种的?我的解答:24天 设 草生长速度v,牛吃草速度x,原有草y列式如下 4*120x=v*120+y 9*45x=v*45+y 两式相减: x=v 即一只牛吃草得速度和草增长得速度相同 所以求得y=360x十六头牛一起吃,要吃n天 16*x*n=y+v*n=y+x*n n*15x=360x

所以n=24,需要24天。

一片牧草,每天生长速度相同,这片牧草可供27头牛吃6天,可供46头羊吃9天,如果一头牛的吃草量是2只羊的吃草量,那么11头牛和20只羊一起吃,可以吃几天?

 

最佳答案

牛吃草的关键就是要求出原来有多少草和每天会长多少草,这两个条件一定要求出来。根据条件:一头牛的吃草量是2只羊的吃草量可以设一只羊每天吃1份草,那么一头牛每天就是吃2份草27×6×2=324份46×9×1=414份吃9天的比吃6天的多:414-324=90份,也就是3天长了90份90÷(9-6)=30份…………每天长30份草30×6=180份是6天总共长了180份,而上面求出6天总共吃了324份,除了长出来的,还有吃的就是原来草地上就有的324-180=144 份…………原来草地上有144份草现在有11头牛和20只羊,每天一共吃11×2+20×1=42份草,而每天又会长30份草。一共有144份草,每天吃42份张30份,假设每天先把长的吃掉,那么144份草,每天就会吃掉42-30=12份,144÷12=12天就会吃完,所以可以吃12天。 完整的过程是:27×6×2=324份       46×9×1=414份     414-324=90份90÷(9-6)=30份     30×6=180份     324-180=144份11×2+20×1=42份           42-30=12份

有一个牧场长满早,每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天,可供19头牛吃24天。现有若干头牛吃草,6天后,4头牛死亡,余下的牛吃了2天将草吃完。求原有牛的头数。

最佳答案

解:设每头牛每天的吃草量为1 17头牛30天的吃草量为:17×30=510 19头牛24天的吃草量为:19×24=456 两种吃法的草量差一定是新生的草的一部分,这部分新生的草对应的时间是两种吃法所用的时间差。 每天新生的草量:(510-456)÷(30-24)=9 原有草量:510-9×30=240 经过6+2=8天之后,牧场上原有和新生的草的总量是:240+9×8=312 吃草8天的牛共吃的草量:312-4×6=288 共有吃8天草的牛:288÷8=36(头) 加上4头死亡的牛,一共有牛:36+4=40(头)

 

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